[3과목] 시계열 분석

목차

• 시계열 자료
• 정상성
• 시계열 모형 - AR, MA, ARIMA, 분해 시계열
• 차분
• R 실습

설명

1. 시계열 자료 : 시간의 흐름에 따라 관찰된 데이터

---

2. 정상성(stationarity) : 현실 세계에서의 대부분의 자료들 중 시계열 자료는 다루기 어려운 비정상성 시계열 자료이다. 따라서 분석하기 쉬운 정상성 시계열 자료로 변환할 필요가 있다.

 

정상성의 3가지 주요 특징

 

(1) 평균이 일정 : 모든 시점에 대해 일정한 평균을 가진다.

- 평균이 일정하지 않은 시계열은 차분(difference)을 통해 정상화

- 차분은 현시점 자료에서 이전 시점 자료를 빼는 것

 

(2) 분산도 시점에 의존하지 않음 :분산이 일정하지 않은 시계열은 변환(transformation)을 통해 정상화

 

(3) 공분산도 시차에만 의존할 뿐, 특정 시점에는 의존하지 않음

 

---

일부 시계열에서 정상성을 나타내는 시계열 고르기

1. (a) 200 거래일 동안의 구글 주식 가격;
2. (b) 200 거래일 동안의 구글 주식 가격의 일일 변동;
3. (c) 미국의 연간 파업 수;
4. (d) 미국에서 판매되는 새로운 단독 주택의 월별 판매액;
5. (e) 미국에서 계란 12개의 연간 가격 (고정 달러);
6. (f) 호주 빅토리아 주에서 매월 도살한 돼지의 전체 수;
7. (g) 캐나다 북서부의 맥킨지 강 지역에서 연간 포획된 스라소니의 전체 수;
8. (h) 호주 월별 맥주 생산량;
9. (i) 호주 월별 전기 생산량.

보기	정상성 유무	사유
1	x	추세가 있고 수준이 변동함
2	o
3	x	추세가 있고 수준이 변동함
4	x	명확한 계절성을 지님
5	x	추세가 있고 수준이 변동함
6	x	추세가 있고 수준이 변동함
7	o
8	x	명확한 계절성을 지님
9	x	명확한 계절성을 지님

(g) 캐나다 북서부의 맥킨지 강 지역에서 연간 포획된 스라소니의 전체 수 -> 정상성 시계열

- 언뜻 보면 시계열 (g)에서 나타나는 뚜렷한 주기(cycle) 때문에 정상성을 나타내는 시계열이 아닌 것처럼 보일 수 있습니다. 하지만 이러한 주기는 불규칙적(aperiodic)으로 인해, 개체수의 증감이 주기적으로 반복된다. 하지만 시작과 끝은 예측할 수 없다. 그래도 정상성을 나타내는 시계열로 분류할 수 있다.

 

---

3. 시계열 모형

(1) 자기회귀 모형 (Autoregressive model, AR)

 

P 시점 이전의 자료가 현재 자료에 영향을 줌

오차항 = 백색잡음과정(white noise process)

자기상관함수(Autocorrelation Function, ACF) : k 기간 떨어진 값들의 상관계수

부분자기상관함수(partial ACF) : 서로 다른 두 시점의 중간에 있는 값들의 영향을 제외시킨 상관계수

ACF 빠르게 감소, PACF는 어느 시점에서 절단점을 갖는다

PACF가 2시점에서 절단점 가지면 AR(1) 모형

 

(2) 이동평균 모형 (Moving average model, MA)

유한한 갯수의 백색잡음 결합이므로 항상 정상성 만족

ACF가 절단점을 갖고, PACF는 빠르게 감소

 

(3) 자기회귀누적이동평균 모형 (Autoregressive integrated moving average model, ARIMA)

 

비정상 시계열 모형

차분이나 변환을 통해 AR, MA, 또는 이 둘을 합한 ARMA 모형으로 정상화

ARIMA(p, d, q) - d : 차분 차수 / p : AR 모형 차수 / q : MA 모형 차수

 

(4) 분해 시계열

 

시계열에 영향을 주는 일반적인 요인을 시계열에서 분리해 분석하는 방법 계절 요인(seasonal factor), 순환 요인(cyclical), 추세 요인(trend), 불규칙 요인(random)

---

4. 차분(differencing)

: 정상성을 나타내지 않는 시계열을 정상성을 나타내도록 만드는 방법 중 한 가지.

: 연이은 관측값들의 차이를 계산한다.

 

-로그 같은 변환은 시계열의 분산 변화를 일정하게 만드는데 도움이 될 수 있다. 차분(differencing)은 시계열의 수준에서 나타나는 변화를 제거하여 시계열의 평균 변화를 일정하게 만드는데 도움이 될 수 있다. 결과적으로 추세나 계절성이 제거(또는 감소)된다.

 

정상성을 나타내지 않는 시계열을 찾아낼 때 데이터의 시간 그래프를 살펴보는 것만큼, ACF 그래프도 유용하다. 정상성을 나타내지 않는 데이터에서는 ACF가 느리게 감소하지만, 정상성을 나타내는 시계열에서는, ACF가 비교적 빠르게 0으로 떨어질 것이다. 그리고 정상성을 나타내지 않는 데이터에서 r1r1은 종종 큰 양수 값을 갖는다.

구글 주식 가격의 ACF (왼쪽) 그리고 일별 변동 (오른쪽)

해석 :

차분을 구한 구글 주식 가격의 ACF는 단순히 백색잡음(white noise) 시계열처럼 생겼다. 95% 한계 바깥에 자기상관(autocorrelation) 값이 없고, 융-박스(Ljung-Box) Q∗Q∗ 통계는 h=10h=10에 대해 0.355라는 p-값을 갖는다. 이 결과는 구글 주식 가격의 일별 변동이 기본적으로는 이전 거래일의 데이터와 상관이 없는 무작위적인 양이라는 것을 말한다.

 

---

 

5. R 실습

# 1) 소스 데이터를 시계열 데이터로 변환

ts(data, frequency = n, start = c(시작년도, 월))

 

# 2) 시계열 데이터를 x, trend, seasonal, random 값으로 분해

decompose(data)

 

# 3) 시계열 데이터를 이동평균한 값 생성

SMA(data, n = 이동평균수)

 

# 4) 시계열 데이터를 차분

diff(data, differences = 차분횟수)

 

# 5) ACF 값과 그래프를 통해 래그 절단값을 확인

acf(data, lag.max = 래그수)

 

# 6) PACF 값과 그래프를 통해 래그 절단값을 확인

pacf(data, lag.max = 래그수)

 

# 7) 데이터를 활용하여 최적의 ARIMA 모형을 선택

auto.arima(data)

 

# 8) 선정된 ARIMA 모형으로 데이터를 보정(fitting)

arima(data, order = c(p, d, q))

 

# 9) ARIMA 모형에 의해 보정된 데이터를 통해 미래값을 예측

forecast.Arima(fittedData, h = 미래예측수)

 

# 10) 시계열 데이터를 그래프로 표현

plot.ts(시계열데이터)

 

# 11) 예측된 시계열 데이터를 그래프로 표현

plot.forecast(예측된시계열데이터)

---